بچه ها ی عزیزم توجه کنید! در واقع هر کدام از   ها مختصات  نقطه ای در دستگاه مختصات است!

دستگاه مختصات از دو محور عمود بر هم ساخته شده است.

محور افقی، محور طولها یا محور x و محور عمودی محور عرض ها یا محور y نام دارد. محل برخورد این دو محور، مبدا مختصات است که آن را با ۰ نشان می دهیم. در حقیقت مبدا مختصات، نقطه ی صفر است.

حال فرض کنید نقطه ای درون این صفحه، مانند نقطه ی A در نظر بگیریم. باید ببینیم به چه طریق می توانیم از نقطه ی ۰ به نقطه ی A برسیم؟البته با این قرارداد مهم که ما اول باید از مبدا مختصات افقی و سپس عمودی حرکت کنیم تا به نقطه ی A برسیم!

و دوستان عزیزم روشن است که ما باید از نقطه ی ۰ ، ابتدا ۲ واحد افقی به سمت راست (مسیر قرمز ) و سپس ۳ واحد عمودی به سمت بالا  (مسیر آبی ) حرکت کنیم تا به نقطه ی A برسیم.

پس مختصات نقطه ی A برابر با  است و ما می نویسیم:  = A ( عدد ۲ را طول نقطه ی A و عدد ۳ را عرض آن می نامند).

بچه ها! مختصات یک نقطه در حقیقت مسیری را نشان می دهد که برای رسیدن به آن نقطه از مبدا مختصات باید طی کنیم (همیشه اول از مبدا مختصات افقی حرکت کنید و سپس عمودی حرکت کنید تا به نقطه مورد نظر برسید !)

و مهم این است که بدانیم برای رسیدن از مبدا به هر نقطه در صفحه ی مختصات همیشه فقط یک مسیر وجود دارد البته با این قراردادی که ما باهم بستیم (اول افقی و سپس عمودی حرکت کردن از مبدا تا نقطه ی مورد نظر!).

پس هر نقطه تنها می تواند یک مختصات داشته باشد!

حال اگر ما فقط بنویسم ، روشن است که منظورمان نقطه ی A بوده است، آخر اگر ما از مبدا اول ۲ واحد افقی و سپس ۳ واحد عمودی حرکت کنیم به ناچار به نقطه ی A می رسیم!

دقت کنید! ما هنوز اعداد صحیح منفی را یاد نگرفته ایم بچه ها! پس حرکتمان در صفحه ی مختصات همیشه به سمت راست یا به سمت بالا خواهد بود!

حالا که معنی  (مختصات یک نقطه) را فهمیدیم، اجازه بدهید یک قانون را معرفی کنیم! ما می توانیم مختصات دو نقطه را به این صورت باهم جمع بزنیم:

  =      =     +   

یعنی باید طول دو نقطه را باهم و عرض آنها را باهم جمع ببندیم! 

سوال دوم: جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید.

الف) در دستگاه مختصات، … مبدا مختصات را نشان می دهد.

ب) نقطه ی   روی محور … و نقطه ی   روی محور … قرار دارد.

ج) در نقطه ی    = A  ، عدد ۳ را … و عدد ۵ را … مختصات نقطه ی A می نامند.

د) فرض کنید می خواهیم قرینه ی نقطه ای را نسبت به خطی در صفحه ی مختصات به دست بیاوریم. جاهای خالی را با عبارات ” تغییر می کند” و “ثابت می ماند” پر کنید.

۱) اگر خط افقی باشد، طول نقطه … و عرض نقطه …

۲) اگر خط عمودی باشد، طول نقطه … و عرض نقطه …

 جواب:

الف) نقطه ی صفر ( =۰ ).

ب) روی محور طولها (به خاطر اینکه عرض نقطه برابر صفر است)،

روی محور عرضها (به خاطر اینکه طول نقطه برابر صفراست)

ج) عدد ۵ طول نقطه،

عدد ۳ عرض نقطه

د) جواب این قسمت را بعد از پاسخ دادن به مسایل دیگر در جواب سوال چهارم باید بگویم (الان یکمی زوده)!!

سوال سوم: قرینه ی شکل زیر را نسبت به خط d  به دست بیاورید.

جواب :

بچه ها کشیدن قرینه ی یک شکل نسبت به یک خط خیلی  خیلی  آسان است اما در ریاضی بسیار مهم می باشد!

باید برای گوشه های شکل (اگه شکل هندسی باشد که در اینجا هست!) نامی انتخاب کنید! ما در این جا راس های مثلث را نامگزاری کرده ایم! بعد باید از هر راس بر خطی که می خواهید قرینه ی شکل را نسبت به آن به دست بیاورید (همان خط تقارن!) خطی عمود کنید و به همان اندازه ادامه دهید! به این صورت شما می توانید تصویر راس های مثلث را داشته باشید! بعد راس ها را به هم وصل کنید، به همین سادگی!

در واقع وقتی می خوهید قرینه ی یک شکل را نسبت به یک خط به دست آورید باید این نکته را بدانید که این خط مثل یک آینه عمل می کند! پس اگر کاغذ را از خط تقارن تا کنید باید شکل و قرینه ی آن دقیقا بر هم منطبق باشد.

پس سخت نیست که قرینه ی اعداد نوشته شده را هم نسبت به خط تقارن به دست بیاورید! 

سوال چهارم: نقاط با مختصات داده شده را در دستگاه مختصات مشخص کنید. بگویید از متصل کردن آنها چه شکلی پدید می آید؟

مساحت شکل را به دست بیاورید.

قرینه ی شکل را نسبت به خطوط d و d(پریم) به دست بیاورید.

مساحت اشکال جدید را محاسبه کرده و با مساحت شکل اولیه مقایسه کنید.

 ^=A

 ^=B

^=C

 ^=D

^جواب:

بچه ها امیدوارم که مشخص کردن مختصات نقطه ها را در دستگاه مختصات به خوبی یادگرفته باشید وگرنه باید بیشتر به جواب سوال یک دقت کنید!

 

دوستان همانطور که میبینید شکل حاصل یک ذوزنقه شد!

و اما مساحت ذوزنقه:

مجموع دو قاعده ضرب در ارتفاع تقسیم بر ۲

پس مساحت ذوزنقه ما برابر است با:

البته بچه ها! اگر فرمول را فراموش کرده بودید، می توانید زرنگی کنید و از روی تعداد مربع های داخل ذوزنقه، مساحت آن را به دست بیاورید!(البته تکه های مربع های ناقص در شکل را باید به هم بچسبانید و بعد تعداد مربع ها را حساب کنید!

حال باید قرینه ی این ذوزنقه را نسبت به خط افقی داده شده به دست آوریم (یادتان هست که قرینه ی یک شکل را نسبت به یک خط چگونه به دست می آورند؟ اگر یادتان نیست به سوال قبل مراجعه کنید!)

به تصویر هر نقطه و مختصات آن دقت کنید!

^A=`A

   ^=`B

   ^=`C

  ^{D` =D}

دقت کنید که تصویر نقطه ای که روی خط تقارن است، خود آن نقطه می شود! ( تصویر نقطه ی A خود A و تصویر نقطه ی D خود D  است، چون روی محور تقارن قرار دارند.)

همچنین می بینید که خط تقارن افقی است و طول نقطه با طول تصویرش یکی است و تغییر نمی کند، اما عرض آن تغییر می کند! (همین جا ما جواب قسمت (د) سوال دوم را دادیم!)

حال قرینه ی شکل را نسبت به محور عمودی به دست می آوریم:

مختصات تصاویر راس ها را خودتان به دست آورید!

اگر مختصات راس های تصویر را به دست بیاورید، متوجه خواهید شد که عرض نقاط تغییری نمی کند و فقط طول نقاط با طول تصاویرشان فرق دارد! (و جواب سوال دوم قسمت (د) کامل می شود!)

بچه ها! همانطور که می بینید، مساحت شکل هیچ تغییری نکرد!

آیا می توانیم نتیجه ی زیر را بگیریم؟

 در تقارن  مساحت شکل تغییری نمی کند فقط ممکن است جایش عوض شود!

سوال پنجم: مختصات رئوس مثلث را به دست بیاورید. راس ها را دو واحد به

سمت راست انتقال بدهید. راس ها ی جدید را به هم وصل کنید و مساحت مثلث جدید را با مساحت مثلث اولیه مقایسه کنید.

تا الان دیگر باید طریقه ی به دست آوردن مختصات نقطه را در صفحه ی مختصات یاد گرفته باشید!

          ^= B

        =

حال می خواهیم راس های این مثلث را دو واحد به سمت راست انتقال دهیم. این کار را به آسانی می توانیم انجام دهیم!

روشن است (حتی بدون اینکه تصویر مثلث جدید را ببینیم!) که مساحت مثلث جدید با مساحت مثلث اول مان فرقی ندارد!

در واقع اگر همه ی راسهای شکلی را به یک اندازه و در یک جهت حرکت دهیم به این کار، انتقال می گویند و تمام ویژگی های شکل (مساحت، محیط و …) در انتقال حفظ می شود. تنها جای شکل  عوض می شود!

 

سوال ششم: مختصات رئوس مثلثی ، ،  می باشد. اگر رئوس این مثلث را دو واحد به سمت راست و سه واحد به سمت بابلا انتقال دهیم، نسبت مساحت مثلث اولیه به مساحت مثلث جدید چقدر می شوند؟

جواب:

به این کار انتقال می گویند، چون تمام راس ها به یک اندازه و در یک جهت جا به جا شده است و در انتقال همانطور که گفتیم، مساحت تغییر نمی کند!

سوال هفتم: گزینه ی صحیح را مشخص کنید.

الف) راس های مستطیلی  ،  ،   و  است. اگر مختصات راس های آن را دو برابر کنیم، مساحت مستطیل چند برابر می شود؟

۱) دو برابر

۲) چهار برابر

۳) شش برابر

۴) هشت برابر 

ب) مثلث متساوی الاضلاعی را در دستگاه مختصات دو واحد به سمت راست و یک واحد به سمت بالا انتقال دادیم. شکل حاصل یک مثلث … است.

۱) متساوی الاضلاع

۲) قائم الزاویه

۳) متساوی الساقین

۴) مختلف الاضلاع

جواب:

قسمت (الف):

ابتدا مستطیل با مختصات داده شده را در دستگاه مختصات رسم می کنیم.

مختصات جدید برابر است با:

،   ، ، 

و مستطیل جدید را هم رسم کرده و به وضوح مشاهده می کنیم که مساحت مستطیل جدید ۴ برابر مساحت مستطیل اولیه است.

قسمت (ب): در انتقال شکل هیچ تغییری نمی کند، فقط جایش در دستگاه مختصات عوض می شود!

 

اکنون به جنگ سوالهای سخت تر می رویم!

سوال یک: قرینه ی نقطه   =A نسبت به نقطه ی  کدام است؟

جواب:

ابتدا نقاط را در صفحه مختصات مشخص می کنیم.

برای به دست آوردن قرینه ی یک نقطه نسبت به نقطه ای دیگر  دو روش را معرفی می کنیم:

روش اول: از نقطه ی مورد نظر به مرکز تقارن داده شده (نقطه ای که می خواهیم قرینه را نسبت به آن به دست بیاوریم) خطی وصل می کنیم و آن خط را به همان اندازه ادامه می دهیم. انتهای خط تصویر نقطه نسبت به مرکز تقارن داده شده، است.

نکته: بچه ها! دقت کنید که نقطه و قرینه ی آن و مرکز تقارن همگی روی یک خط راست قرار دارند و مرکز تقارن درست وسط این خط است.

 

روش دوم: مسیری را که باید از نقطه تا مرکز تقارن طی کنیم را مشخص کرده و همان مسیر را دو باره از مرکز تقارن تکرار می کنیم. در این صورت به قرینه ی نقطه نسبت به مرکز تقارن خواهیم رسید.

نکته: پیدا کردن قرینه ی یک نقطه نسبت به مرکز تقارن، در حقیقت دوران نقطه به اندازه ی ۱۸۰ درجه حول مرکز تقارن است (به نکته ی قبل دقت کنید!).

سوال دوم: قرینه ی شکل زیر را نسبت به نقطه ی داده شده رسم کنید.

جواب:

برای هر نقطه نامی انتخاب کنید و به مرکز تقارن وصل کرده و به همان اندازه ادامه دهید تا به تصویرش برسید! در حقیقت ما قرینه ی هر نقطه از شکل را نسبت به مرکز تقارن به دست می آوریم و بعد تصاویر نقاط را به هم وصل می کنیم (به سوال قبل دقت کنید!)

سوال سوم: قرینه ی اشکال زیر را نسبت به نقطه ی داده شده رسم کنید.

فقط کافی است از هر راس شکل به مرکز تقارن خطی بکشیم و آن را همان اندازه ادامه بدهیم، در این صورت به تصویر آن نقطه دست پیدا می کنیم.

و همین طور

سوال چهارم: اگر قرینه ی یک مثلث را نسبت به یک نقطه پیدا کنیم، شکل حاصل کدام گزینه است؟

۱) لوزی

۲) مربع

۳) مثلث

۴) متوازی الضلاع

جواب:

پاسخ گزینه ی ۳ است.

نکته: بسیار مهم است که بدانید: قرینه ی یک شکل نسبت به یک نقطه با شکل یکسان است و همان ویژگی های شکل اول را دارد، فقط جایش در دستگاه مختصات تغییر کرده است!

 

سوال پنجم: در شکل زیر اگر بخواهیم مثلث را در جهت پیکان حرکت دهیم، آن مثلث کجا می رود؟

۱) بالا و به طرف راست

۲) پایین و به طرف چپ

۳) پایین و به طرف راست

۴) بالا و به طرف چپ

 جواب: هر حرکتی را ما می توانیم به دوحرکت افقی و عمودی تبدیل کنیم! در اینجا هم این حرکت (جهت پیکان) را می توانیم به حرکت افقی به سمت چپ و سپس به حرکت عمودی به سمت پایین تبدیل کنیم.

سوال ششم: نقطه ی  =A را در دستگاه مختصات در نظر بگیرید. سپس آن را با مختصات    انتقال بدهید و نقطه ی جدید را A₂ بنامید و مختصات آن را به دست آورید. همچنین برای انتقال یک جمع بنویسید.

 

جواب:

با مختصات    انتقال دادن  یعنی اینکه نقطه ی A را ابتدا ۳ واحد به سمت راست (مسیر آبی) و سپس ۱ واحد به سمت بالا (مسیر قرمز) حرکت دهید و جالب است بدانید که تصویر نقطه ی A  تحت این انتقال از جمع بستن مختصات خودش و مختصات انتقال به دست می آید! (رویش فکر کنید!)

 =  =   +